1.9 Частотные характеристики фильтров
Общие понятия. От z-образов сигналов и передаточных функций подстановкой z = exp(-jt) в уравнение (8.2) можно перейти к Фурье-образам функций, т.е. к частотным спектрам сигналов и частотной характеристике фильтров, а точнее – к функциям их спектральных плотностей.
Можно применить и способ получения частотных характеристик непосредственно из разностного уравнения системы обработки данных. Так как цифровая фильтрация относится к числу линейных операций, то, принимая для сигнала на входе фильтра выражение x(kt) = B() exp(jkt), мы вправе ожидать на выходе фильтра сигнал y(kt) = A() exp(jkt). Подставляя эти выражения в разностное уравнение фильтра (4.1), получаем:
(9.1)
Передаточная частотная функция (частотная характеристика при ао=1):
(9.2)
Нетрудно убедиться, что полученная частотная характеристика пов- торяет функцию (8.2) при z = exp(-jt), что и следовало ожидать. Аналогично z-преобразованию (8.7), частотная характеристика фильтра представляет собой Фурье-образ его импульсной реакции, и наоборот. При t = 1:
(9.3)
(9.4)
В общем случае H() является комплексной функцией, модуль которой R() называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент () - фазочастотной характеристикой (ФЧХ).
A() = |H()| =
() = arctg(-Im H()/Re H()).
На рис. 9.1 - 9.3 приведены частотные характеристики фильтров (модули и аргументы спектральных плотностей), которые были рассмотрены выше в примерах и на рис. 6.1 – 6.3. Графики приведены в границах главных диапазонов спектров, и получены непосредственной подстановкой z=exp(-jt) при t=1 в уравнения передаточных функций H(z).
Рис. 9.1 Спектр не имеет особых точек.
Рис. 9.2 Спектр имеет особые точки на границах диапазонов.
Рис. 9.3 Спектр интегрирующего фильтра. Особая точка на нулевой частоте.
При обработке ограниченных массивов амплитуда центрального пика равна количеству точек массива.
Основные свойства частотных характеристик фильтров:
1. Частотные характеристики являются непрерывными функциями частоты.
2. При дискретизации данных по интервалам t функция H() является периодической. Период функции H() равен частоте дискретизации входных данных F = 1/t. Первый низкочастотный период (по аргументу от -/t до /t, по f от -1/2t до 1/2t) называется главным частотным диапазоном. Граничные частоты главного частотного диапазона соответствуют частоте Найквиста ±N, N = /t. Частота Найквиста определяет предельную частоту обработки данных.
3. Для фильтров с вещественными коэффициентами импульсной реакции h(nt) функция АЧХ является четной, а функция ФЧХ - нечетной. С учетом этого частотные характеристики фильтров обычно задаются только на интервале положительных частот 0-N главного частотного диапазона. Значения функций на интервале отрицательных частот являются комплексно сопряженными со значениями на интервале положительных частот.
Как правило, при частотном анализе фильтров значение t интервала дискретизации принимают за 1, что соответственно определяет задание частотных характеристик на интервале (0,) по частоте или (0,1/2) по f. При использовании быстрых преобразований Фурье (БПФ) вычисления спектров осуществляются в одностороннем варианте положительных частот в частотном интервале от 0 до 2 (от 0 до 1 Гц), где комплексно сопряженная часть спектра главного диапазона (от - до 0) занимает интервал от до 2 (для ускорения вычислений используется принцип периодичности дискретных спектров). Заметим, что при выполнении БПФ количество точек спектра равно количеству точек входной функции, а, следовательно, отсчет на частоте 2, комплексно сопряженный с отсчетом на частоте 0, отсутствует. При нумерации точек входной функции от 0 до N он принадлежит точке N+1 - начальной точке следующего периода, при этом шаг по частоте равен 2/(N+1). Современное программное обеспечение БПФ допускает любое количество точек входной функции, при этом для нечетного значения N частоте соответствует отсчет на точке (N+1)/2, не имеющий сопряженного отсчета, а при четном значении N отсутствует отчет на частоте (она располагается между отсчетами k=N/2 и N/2 +1). Отсчетам с номерами k главного диапазона БПФ (за исключением точки k=0) соответствуют комплексно сопряженные отсчеты N+1-k (за исключением точки k=(N+1)/2 при нечетном N).
Фазовая и групповая задержка. Задержка сигналов во времени относится к характерной особенности каузальных систем в целом, а, следовательно, рекурсивных и односторонних нерекурсивных фильтров.
Фазовая задержка, это прямая характеристика временной задержки фильтром гармонических колебаний. При подаче на вход фильтра гармоники sin t, сигнал на выходе каузального фильтра, без учета изменения его амплитуды, равен sin(t-), при этом:
sin(t-) = sin (t-tp), ωt- = ω(t-tp).
Отсюда, фазовая задержка tp на частоте равна:
tp = /ω. (9.5')
При распространении (9.5) в целом на спектральную передаточную функцию фильтра получаем:
tp()= /ω. (9.5)
Постоянство значения tp() в определенном частотном диапазоне обеспечивает для всех гармоник сигнала такое же соотношение их фазовых характеристик, какое было на входе системы, т.е. не изменяет формы сигнала, если его спектр полностью сосредоточен в этом частотном диапазоне, и значения АЧХ в этом диапазоне также имеют постоянное значение. Это условие является определяющим, например, для систем передачи данных, для сглаживающих и полосовых частотных фильтров.
Что касается каузальных фильтров, то они, как правило, имеют в рабочем диапазоне определенную зависимость значения tp от частоты, которая характеризуется групповым временем задержки (ГВЗ).
Допустим, что сигнал на входе фильтра представляет собой сумму двух гармоник с близкими частотами:
s(t) = cos ω1t + cos ω2t.
Тождественная тригонометрическая запись:
s(t) = 2 cos[0.5(ω1+ω2)t] · cos[0.5(ω1-ω2)t].
Эта запись показывает, что сумму двух гармоник с частотами ω1 и ω2 можно рассматривать, как амплитудную модуляцию гармоники с частотой (ω1+ω2)/2 гармоникой с частотой (ω1-ω2)/2. При прохождении через фильтр каждая из гармоник ω1 и ω2 может получить различную задержку, при этом сигнал на выходе фильтра, без учета амплитудных изменений:
s(t) = cos (ω1t-1) + cos(ω2t-2).
Тождественная запись:
s(t) = 2 cos[0.5((ω1+ω2)t-(1+2))] · cos[0.5((ω1-ω2)t-(1-2))].
Пульсацию колебаний выразим через групповую временную задержку tg:
cos[0.5((ω1-ω2)t-(1-2))] = cos[0.5(ω1-ω2)·(t-tg)].
Отсюда:
(ω1-ω2)·tg = 1-2.
tg = (1-2)/(ω1-ω2) = /ω. (9.6)
При распространении этого выражения на непрерывную частотную характеристику фильтра:
tg(ω)= d()/dω. (9.7)
Для вычислений ГВЗ удобно использовать комплексный логарифм передаточной функции фильтра:
Ln(H(ω)) = ln |H(ω)| + j·(ω), (ω) = Im[Ln(H(ω)].
tg(ω)= d/dω = Im{d[Ln(H(ω))]/dω} = Im{dH(ω)/[H(ω)dω]}. (9.8)
Приближение для дискретных спектральных функций:
tg(k·ω) ≈ (2/ω)·Im{(Hk+1-Hk) / (Hk+1+Hk )}. (9.9)
Yandex.RTB R-A-252273-3
- 2.4.3 Ацп с плавающей точкой……………………………………………
- 1 Цифровые фильтры
- 1.1 Явление Гиббса
- 1.1.1 Сущность явления Гиббса
- 1.1.2 Параметры эффекта
- 1.1.3 Последствия для практики
- 1.2 Весовые функции
- 1.2.1 Нейтрализация явления Гиббса в частотной области
- 1.2.2 Основные весовые функции
- 1.3 Типы фильтров
- 1.4 Разностное уравнение
- Нерекурсивные фильтры
- 1.5.1 Методика расчетов нцф
- 1.5.2 Идеальные частотные фильтры
- 1.5.3 Конечные приближения идеальных фильтров
- 1.5.3.1 Применение весовых функций
- 1.5.3.2 Весовая функция Кайзера
- 1.5.4 Дифференцирующие цифровые фильтры
- 1.5.5 Гладкие частотные фильтры
- 1.6 Рекурсивные фильтры
- 6.3 Интегрирующий рекурсивный фильтр.
- 1.6.1 Принципы рекурсивной фильтрации
- 1.6.2 Режекторные и селекторные фильтры
- 1.6.2.1 Комплексная z-плоскость.
- 1.6.2.2 Режекторные фильтры
- 1.6.2.3 Селекторный фильтр
- 1.6.3 Билинейное z-преобразование
- 1.6.4 Типы рекурсивных частотных фильтров
- 1.7 Импульсная характеристика фильтров
- Передаточные функции фильтров
- 1.9 Частотные характеристики фильтров
- 1.10 Частотный анализ цифровых фильтров
- 1.10.1 Сглаживающие фильтры и фильтры аппроксимации
- 1.10.1.1 Фильтры мнк 1-го порядка (мнк-1)
- 1.10.1.2 Фильтры мнк 2-го порядка (мнк-2)
- 1.10.1.3 Фильтры мнк 4-го порядка
- 1.10.2 Разностные операторы
- 1.10.2.1 Разностный оператор
- 1.10.2.2 Восстановление данных
- 1.10.2.3 Аппроксимация производных
- 1.10.3 Интегрирование данных
- 1.10.4 Расчёт фильтров по частотной характеристике
- 1.11 Фильтрация случайных сигналов
- 1.12 Структурные схемы цифровых фильтров
- Обращенные формы.
- 1.13 Фильтры Чебышева
- 1.14 Фильтры Баттерворта
- Свойства фильтров Баттерворта нижних частот:
- 1.15 Фильтры Бесселя
- 2 Аналого-цифровое преобразование
- 2.1 Цифровая обработка звуковых сигналов
- 2.2 Основы аналого-цифрового преобразования
- 2.2.1 Основные понятия и определения
- 2.3 Структура и алгоритм работы цап
- Контрольные вопросы
- 2.4 Структура и алгоритм работы ацп
- 2.4.1 Параллельные ацп
- 2.4.2 Ацп с поразрядным уравновешиванием
- 2.4.3 Ацп с плавающей точкой
- Контрольные вопросы
- Глава 3. Звук.
- 3.1 Аудиосигнал
- 3.1.1 Звуковые волны
- 3.1.2 Звук как электрический сигнал
- 3.1.3 Фаза
- 3.1.4 Сложение синусоидальных волн
- 3.2 Звуковая система
- 3.2.1 Назначение звуковой системы
- 3.2.2 Модель звуковой системы
- 3.2.3 Входные датчики
- 3.2.4 Выходные датчики
- 3.2.5 Простейшая звуковая система
- 3.3 Амплитудно-частотная характеристика
- 3.3.1 Способы записи ачх в спецификации звуковых устройств
- 3.3.2 Октавные соотношения и измерения
- 3.3.3 Ачх реальных устройств воспроизведения звука
- 3.3.4 Диапазон частот голоса и инструментов
- 3.3.5 Влияние акустических факторов
- 3.4 Единицы измерения, параметры звуковых сигналов
- 3.4.1 Децибел
- 3.4.2 Относительная мощность электрических сигналов дБm
- 3.4.3 Децибелы и уровень звука
- 3.4.5 Громкость, уровень сигнала и коэффициент усиления
- 3.4.6 Громкость
- 3.5 Динамический диапазон
- 3.5.1 Запас динамического диапазона
- 3.5.2 Выбор динамического диапазона для реальной звуковой системы
- 3.6 Цифровой звук
- 3.6.1 Частота дискретизации
- 3.6.2 Разрядность
- 3.6.3 Дизеринг
- 3.6.4 Нойс шейпинг
- 3.6.5 Джиттер
- 3.7 Методы и стандарты передачи речи по трактам связи, применяемые в современном оборудовании (7 кГц)
- 3.7.1 Импульсно-кодовая модуляция (pcm — Pulse-Code Modulation)
- 3.7.3 Помехоустойчивость методов икм
- 3.7.4 Методы эффективного кодирования речи
- 3.7.5 Кодирование речи в стандарте cdma
- 3.7.6 Речевые кодеки для ip-телефонии
- 3.7.7 Оценка качества кодирования речи
- 3.8 Общие сведения по мр3
- 3.8.1 Феномен мрз
- 3.8.2 Что такое формат мрз?
- 3.8.3 Качество записи мрз
- 3.8.4 Формат мрз и музыкальные компакт-диски
- 3.8.5 Работа со звукозаписями формата мрз
- 3.9 Основные понятия цифровой звукозаписи
- 3.9.1 Натуральное цифровое представление данных
- 3.9.2 Кодирование рсм
- 3.9.3 Стандартный формат оцифровки звука
- 3.9.4 Параметры дискретизации
- 3.9.5 Качество компакт-диска
- 3.9.6 Объем звукозаписей
- 3.9.7 Формат wav
- 3.10 Формат mp3
- 3.10.1 Сжатие звуковых данных
- 3.10.2 Сжатие с потерей информации
- 3.10.3 Ориентация на человека
- 3.10.4 Кратко об истории и характеристиках стандартов mpeg.
- 3.10.5 Что такое cbr и vbr?
- 3.10.6 Каковы отличия режимов cbr, vbr и abr?
- 3.10.7 Методы оценки сложности сигнала
- 3.10.8 Какие методы кодирования стерео информации используются в алгоритмах mpeg (и других)?
- 3.10.9 Какие параметры предпочтительны при кодировании mp3?
- 3.10.10 Какие альтернативные mpeg-1 Layer III (mp3) алгоритмы компрессии существуют?
- 3.11 OggVorbis
- 3.13 Flac
- 4 Сжатие видео
- 4.1 Общие положения алгоритмов сжатия изображений
- 4.1.1 Классы изображений
- 4.1.2 Классы приложений
- 4.1.3 Требования приложений к алгоритмам компрессии
- 4.1.4 Критерии сравнения алгоритмов
- 4.2 Алгоритмы сжатия
- Gif (CompuServe Graphics Interchange Format)
- 4.3 Вейвлет-преобразования
- 4.3.1 Вейвлеты, вейвлет-преобразования, виды и свойства Вейвлет анализ и прямое вейвлет-преобразование
- Непрерывное прямое и обратное вейвлет-преобразования
- Ортогональные вейвлеты
- Дискретное вейвлет-преобразование непрерывных сигналов
- Кратномасштабный анализ
- Пакетные вейвлеты.
- 4.3.2 Примеры применения вейвлетов Очистка сигнала от шума
- Очистка сигнала от шумов на основе вейвлет-преобразований.
- 4.4 Формат сжатия изображений jpeg
- 2) Дискретизация
- 3) Сдвиг Уровня
- 4) 8X8 Дискретное Косинусоидальное Преобразование (dct)
- 5) Зигзагообразная перестановка 64 dct коэффициентов
- 6) Квантование
- 7) RunLength кодирование нулей (rlc)
- 8) Конечный шаг - кодирование Хаффмана
- 4.5 Jpeg2000
- 4.5.1 Общая характеристика стандарта и основные принципы сжатия
- 4.5.2 Информационные потери в jpeg2000 на разных этапах обработки
- 4.5.3 Практическая реализация
- 4.5.4 Специализированные конверторы и просмотрщики
- 4.5.5 Основные задачи для развития и усовершенствования стандарта jpeg2000
- 4.6 Видеостандарт mpeg
- 4.6.1 Общее описание
- 4.6.2 Предварительная обработка
- 4.6.3 Преобразование макроблоков I-изображений
- 4.6.4 Преобразование макроблоков р-изображений
- 4.6.5 Преобразование макроблоков в-изображений
- 4.6.6 Разделы макроблоков
- 4.7 Mpeg-1
- Параметры mpeg-1
- 4.8 Mpeg-2
- 4.8.1 Стандарт кодирования mpeg-2
- 4.8.2 Компрессия видеоданных
- 4.8.3 Кодируемые кадры
- 4.8.4 Компенсация движения
- 4.8.5 Дискретно-косинусное преобразование
- 4.8.6 Профессиональный профиль стандарта mpeg-2
- 4.9.11 Плюсы и минусы mpeg-4
- 4.10 Стандарт hdtv