1.14 Фильтры Баттерворта

Значительная часть теории расчета цифровых БИХ-фильтров (т.е. фильтров с бесконечной импульсной характеристикой) требует понимания методов расчета фильтров непрерывного вре­мени. Поэтому в данном разделе будут приведены расчетные фор­мулы для нескольких стандартных типов аналоговых фильтров, включая фильтры Баттерворта, Бесселя и Чебышева типа I и II. Под­робный анализ достоинств и недостатков способов аппроксимации заданных характеристик, соответствующих этим фильтрам, мож­но найти в ряде работ, посвященных методам расчета аналоговых фильтров, поэтому ниже будут лишь кратко перечислены основные свойства фильтров каждого типа и приведены расчетные соотно­шения, необходимые для получения коэффициентов аналоговых фильтров.

Пусть нужно рассчитать нормированный фильтр нижних частот с частотой среза, равной Ω = 1 рад/с. В качестве аппроксими­руемой функции будет, как правило, использоваться квадрат амплитудной характеристики (исключением является фильтр Бессе­ля). Будем считать, что передаточная функция аналогового фильтра является рациональной функцией переменной S следующего вида:

(14.1)

Фильтры Баттерворта нижних частот характеризуются тем, что имеют максимально гладкую амплитудную характеристику в начале координат в s-плоскости. Это означает, что все суще­ствующие производные от амплитудной характеристики в начало координат равны нулю. Квадрат амплитудной характеристики нормированного (т. е. имеющего частоту среза 1 рад/с) фильтра Баттерворта равен:

(14.2)

где n — порядок фильтра. Аналитически продолжая функцию (14.2) на всю S-плоскость, получим

(14.3)

Все полюсы (14.3) находятся на единичной окружности на одинако­вом расстоянии друг от друга в S-плоскости. Выразим передаточ­ную функцию Н (s) через полюсы, располагающиеся в левой полу­плоскости S:

, где (14.4)

, где k =1,2…..n (14.5)

а k₀ — константа нормирования. Используя формулы (14.2) и (14.5), можно сформулировать несколько свойств фильтров Баттерворта нижних частот.