1.10.1.2 Фильтры мнк 2-го порядка (мнк-2)

Рассчитываются и анализируются аналогично. Рассмотрим квадратный многочлен вида y(t)=A+B·t+C·t². Для упрощения анализа ограничимся симметричным сглаживающим НЦФ с интервалом дискретизации данных t=1.

Минимум суммы квадратов остаточных ошибок:

(A,B,C) = [s_n-(A+B·n+C·n²)]². (10.1.4)

Система уравнений после дифференцирования выражения (10.1.4) по А, В, С и приравнивания полученных выражений нулю:

A 1 + B n + С n² = s_n.

A n + B n² + С n³ = n·s_n.

A n² + B n³ + С n⁴ = n²·s_n.

При вычислении значения квадратного многочлена только для центральной точки (t=0) необходимости в значениях коэффициентов В и С не имеется. Решая систему уравнений относительно А, получаем:

101.5

При развертывании выражения (10.1.5) для 5-ти точечного НЦФ:

y_o = (17 s_n - 5 n²s_n) /35 = (-3·s_-2+12·s_-1+17·s_o+12·s₁-3·s₂) /35. (10.1.6)

Импульсная реакция: h_n = {(-3, 12, 17, 12, -3)/35}.

Передаточная функция фильтра:

H(z)= (-3z^-2+12z^-1+17+12z¹-3z²)/35. (10.1.7)

Рис. 10.1.8. Сглаживающие фильтры МНК.

Аналогичным образом выражение (10.1.5) позволяет получить импульсную реакцию для 7, 9, 11 и т.д. точек фильтра:

³h_n = {(-2,3,6,7,6,3,-2)/21}.

⁴h_n = {(-21,14,39,54,59,54,39,14,-21)/231}.

⁵h_n={(-36,9,44,69,84,89,84,69,44,9,-21)/459}.

Подставляя значение z = exp(-j) в (10.1.7) или непосредственно в (10.1.6) сигнал s_n = exp(jn) и объединяя комплексно сопряженные члены, получаем частотную характеристику 5-ти точечного сглаживающего фильтра МНК второго порядка:

H() = (17+24 cos(-6 cos(2))/35.

Вывод формул передаточных функций для 7, 9, 11-ти точечных фильтров МНК предлагается для самостоятельной работы.

Рис. 10.1.9. Рис. 10.1.10.

Вид частотных характеристик фильтров при N=3 и N=5 приводится на рис. 10.1.8. При сравнении характеристик с характеристиками фильтров МНК-1 можно видеть, что повышение степени полинома расширяет низкочастотную полосу пропускания фильтра и увеличивает крутизну ее среза. За счет расширения полосы пропускания главного частотного диапазона при тех же значениях N коэффициенты усиления дисперсии шумов фильтров МНК-2 выше, чем фильтров 1-го порядка, что можно видеть на рис. 10.1.9.

Методика выбора окна фильтра под частотные характеристики входных сигналов не отличается от фильтров МНК 1-го порядка. На рис. 10.1.10 приведены значения ^ и ^фильтров МНК-2 в сопоставлении со значениями фильтров МНК-1 для частоты f_в = 0.08 Гц при t=1. Из сопоставления видно, что для получения примерно равных значений подавления шумов фильтры МНК-2 должны иметь в 2 раза большую ширину окна, чем фильтры МНК-1. Об этом же свидетельствует и пример моделирования фильтрации, приведенный на рис. 10.1.11.

Рис. 10.1.11.

Модификация фильтров. Фильтры МНК второго порядка (равно как и другие фильтры подобного назначения) также можно модифицировать по условию H() → 0 при  →. Один из простейших методов модификации заключается в следующем. В выражение передаточной функции (со всеми коэффициентами фильтра, вида (10.1.7)) подставляем z = exp(-j), заменяем значения концевых коэффициентов фильтра на параметры, принимаем =  и, приравняв полученное выражение нулю, находим новые значения концевых коэффициентов, после чего сумму всех коэффициентов нормируем к 1 при = 0.

Пример модификации фильтра МНК 2-го порядка.

Передаточная функция: выражение (10.1.7). Частотная характеристика (нормировку можно снять):

H() = -3exp(2j)+12exp(j)+17+12exp(-j)-3exp(-2j).

Замена концевых коэффициентов {значение 3} на параметр b и упрощение:

H() = 17+24 cos()+2b cos(2).

При = : H() = 17-24+2b = 0. Отсюда: b = 3.5

Новая частотная характеристика (с приведением коэффициентов к целым числам):

H() = 68+96 cos()+14 cos(2).

Сумма коэффициентов при  = 0: H(0) = 68+96+14 = 178.

Нормированная частотная характеристика: H() = (68+96 cos()+14 cos(2))/178.

Коэффициенты фильтра: h_n = {(7,48,68,48,7)/178}.

Пример- задание: Модифицировать 7, 9 и 11-ти точечные сглаживающие фильтры МНК 2-го порядка.

Контроль: ⁷h_n = {(1,6,12,14,12,6,1)/52}. ⁹h_n = {(-1,28,78,108,118,108,78,28,-1)/548}.

¹¹h _n = {(-11,18,88,138,168,178,168,138,88,18,-11)/980}.

Сравнительные графики частотных характеристик модифицированных фильтров МНК второго порядка приведены на рисунке 10.1.8.

Фильтры МНК третьего порядка по своим частотным характеристикам эквивалентны фильтрам второго порядка.