1.15 Фильтры Бесселя

Фильтры Бесселя характеризуются максимально гладкой характеристикой групповой задержки в начале координат в S-плоскости. Переходная характеристика фильтров Бесселя имеет весь­ма малый выброс (обычно менее 1%), причем и импульсная и ам­плитудная характеристики стремятся к гауссовой кривой по мере увеличения порядка фильтра. Можно показать, что при дискрети­зации непрерывных фильтров Бесселя методами, рассматривае­мыми в данной главе, характерное для этих фильтров свойство максимальной гладкости характеристики групповой задержки, вообще говоря, не сохраняется. Подробно этот вопрос изложен в статье Тайрана.

Передаточная функция фильтров Бесселя записывается в виде:

(15.1)

где B_n(s) — функция Бесселя n-то порядка, а d₀ - константа нормирования, равная

(15.2)

Появление функций Бесселя в знаменателе (15.1) является ре­зультатом усечения при представлении функции единичной за­держки e^-s в виде цепной дроби. Функции Бесселя удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:

(15.3)

с начальными условиями В₀ (s) = 1 и В₁ (s) = s + 1. Эти функции можно также представить в виде

, (15.4)

где

(15.5)

Можно показать, что фильтры Бесселя имеют только полюсы, которые расположены на окружности с центром па действитель­ной положительной полуоси s-плоскости.

Рис. 15.1. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки аналогового фильтра Бесселя нижних частот.

В отличие от фильтров Баттерворта частота среза фильтров Бесселя Ω_с зависит от их порядка, что затрудняет работу с ними. Частоту среза фильтра Бесселя n-го порядка можно найти, анали­зируя поведение его амплитудной характеристики па высоких частотах. Из формул (15.2) и (15.5) получим:

(15.6)

Чтобы определить асимптотическую частоту среза, найдем такую частоту Ω_с, на которой |H(jΩ|=1/2. Соотношение (15.6) дает:

(15.7)

откуда Ω_c=d₀^{1/ n} (15.8)

Для нормирования Ω_c величине 1 рад/с разделим все корни фильтра на d₀^{1/ n}. При этом задержка в фильтре вместо 1 становится равной d₀^{1/ n} , а уровень амплитудной характеристики на частоте 1 рад/с будет уменьшаться при увеличении порядка фильтра n.

Обычно фильтры Бесселя рассчитывают, задавая порядок фильтра n и частоту среза и отыскивая корни по таблице.

На рис. 15.1 в качестве примера приведены амплитудная (в логарифмическом масштабе) и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки фильтра Бесселя нижних час­тот 10-го порядка. Асимптотическая частота среза этого фильтра равна 1000 л рад/с (т. е. 500 Гц).