1.6 Рекурсивные фильтры

Высококачественные частотные нерекурсивные цифровые фильтры (НЦФ) имеют, как правило, большую ширину окна (многочленный оператор фильтра). Чем меньше допустимая ширина переходной зоны частотной характеристики фильтра между полосами пропускания и подавления, тем больше окно фильтра. Альтернативное решение - применение рекурсивных цифровых фильтров (РЦФ), для которых количество коэффициентов фильтра может быть существенно сокращено по сравнению с НЦФ.

Фильтры, которые описываются полным разностным уравнением (4.2), принято называть рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ), так как в вычислении текущих выходных значений участвуют не только входные данные, но и значения выходных данных фильтрации, вычисленные в предшествующих циклах расчетов. С учетом последнего фактора рекурсивные фильтры называют также фильтрами с обратной связью, положительной или отрицательной в зависимости от знака суммы коэффициентов a_m. Рекурсивные фильтры имеют определенную "память" по значениям предыдущих отсчетов, которая, в пределе, может быть бесконечной. С учетом этого фактора рекурсивные фильтры получили название фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров), в отличие от нерекурсивных фильтров, всегда имеющих конечную импульсную характеристику (КИХ-фильтры).

По существу, полное окно рекурсивного фильтра состоит из двух составляющих: нерекурсивной части b_n, ограниченной в работе текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала (при реализации на ЭВМ возможно использование и “будущих” отсчетов сигнала) и рекурсивной части a_m, которая работает только с "прошлыми" значениями выходного сигнала.

Пример. Уравнение РЦФ: y_k = b_ox_k+a₁y_k-1, при b_o = a₁ = 0.5, y_-1 = 0.

Входной сигнал: x_k = {0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1....}

Расчет выходного сигнала:

у_o = 0,5x_o + 0,5y_-1 = 0; y₁ = 0,5x₁ + 0,5y_o =0; y₂ = 0,5x₂ + 0,5y₁ = 0.5; y₃ = 0,5x₃ + 0,5y₂ = 0.25;

y₄ = 0,5x₄ + 0,5y₃ = 0.125; y₅ = 0,5x₅ + 0,5y₄ = 0.0625; y₆ = 0,5x₆ + 0,5y₅ = 0.03125; и т.д.

Выходной сигнал: y_k = {0, 0, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625,...}

Рис. 6.1 Рекурсивная фильтрация.

Из примера можно видеть, что реакция РЦФ на конечный входной сигнал, в принципе, может иметь бесконечную длительность (в данном случае с близкими к нулю, но не нулевыми значениями), в отличие от реакции НЦФ, которая всегда ограничена количеством членов b_k (окном фильтра).

Пример. Уравнение РЦФ: y_k = b_ox_k - a₁y_k-1, при b_o = 0.5, a₁=1.1, y_-1 = 0

Входной сигнал: x_k = {0, 10, 0, 0, 0,....}.

Выходной сигнал: y_k = {0,0,5,-5.5,6.05,-6.655,7.321,-8.053,8.858,-9.744,10.718,-11.79,… и т.д.}

Заметим: коэффициент обратной связи больше 1 и выходной сигнал идет "в разнос".

Рис. 6.2 Неустойчивый рекурсивный фильтр.

Операции, относящиеся к рекурсивной фильтрации, также известны в обычной практике, например - интегрирование. При интегрировании по формуле трапеций:

y_k = (x_k+x_k-1)/2 + y_k-1, (6.1)

т.е. здесь мы имеем РЦФ с коэффициентами: b_o = b₁ = 0.5, a₁ = 1.

Пример. Уравнение РЦФ: y_k=(x_k+x_k-1)/2+y_k-1, начальные условия - нулевые.

Входной сигнал: x_k={0,0,2,2,4,0,0,0,4,4,4,0,0,0,5,0,0,0,....}

Выполните фильтрацию.

Контроль: y_k= {0,0,0,1,3,6,8,8,8,10,14,18,20,20,20,22.5,25,25,25...}