1.10.2.2 Восстановление данных

Разностные операторы имеют одну особенность: оператор n+1 порядка аннулирует полином степени n, т.е. свертка оператора n+1 порядка с полиномом n-ой степени дает нулевые значения: ⁿ⁺¹ _* P_n(k) = 0. Эту особенность можно использовать для создания очень простых и достаточно надежных операторов восстановления в массивах пропущенных и утраченных значений или для замены аннулированных при обработке величин (например, явных выбросов).

Пример. P₂(k) = x_k = 1+2k-k², k = 0,1,2,... x_k = 1,2,1,-2,-7,-14,-23,-34,...

y_k = x_k*³=0,0,0,0,...

Если считать, что отрезок данных, содержащий пропуск, является многочленом некоторой степени, то свертка данных с разностным оператором следующего порядка должна быть равна нулю. Так, при аппроксимации данных многочленом третьей степени для любой точки массива должно выполняться равенство:

⁴·(s_k) = s_k-2-4s_k-1+6s_k-4s_k+1+s_k+2 = 0.

Интерполяционный фильтр восстановления утраченной центральной точки данных:

s_k = (-s_k-2+4s_k-1+4s_k+1-s_k+2)/6. (10.2.3)

Соответственно, оператор фильтра восстановления данных h(n) = (-1,4,0,4,-1)/6. Коэффициент усиления шумов ² = 17/18 = 0.944.

Пример. Фактический отрезок массива данных: x_k = {3,6,8,8,7,5,3,1}.

Допустим, что на отрезке был зарегистрирован явный выброс: x_k = {3,6,8,208,7,5,3,1}.

Отсчет с выбросом аннулирован.

Замена отсчета: x₃ = (-x₁+4x₂+4x₄-x₅)/6= (-6+32+28-5)/6  8.17.

В массиве утрачен 5-й отсчет.

Восстановление: x₄ = (-x₂+4x₃+4x₅-x₆)/6 = (-8+32+20-3)/6  6.83.

Принимая в (10.2.3) k = 0 и подставляя сигнал s_k = exp(jk), получаем частотную характеристику, в данном случае - интерполяционного фильтра 4-го порядка:

H() = (4 cos - cos 2)/3.

Рис. 10.2.3. Разностные фильтры.

Вид частотной характеристики для фильтров восстановления пропущенных данных 4-го и 6-го порядков приведен на рис. 10.2.3. Графики наглядно показывают, что применение разностных интерполяционных фильтров восстановления данных возможно только для сигналов, высокочастотные и шумовые составляющие которых минимум в три раза меньше частоты Найквиста. Интерполяционные фильтры выше 4-го порядка применять не рекомендуется, т.к. они имеют коэффициент усиления шумов более 1.

На рис. 10.2.4 – 10.2.6 приведены примеры восстановления утраченных данных во входных сигналах оператором 3-го порядка и спектры сигналов в сопоставлении с передаточной функцией оператора восстановления данных. В сигналах утрачен каждый 10-ый отсчет (например, при передаче данных) при сохранении тактовой частоты нумерации данных. Учитывая, что все значения входных сигналов положительны, индикатором пропуска данных для работы оператора служат нулевые значения. В любых других случаях для оператора восстановления данных необходимо предусматривать специальный маркер (например, заменять аннулированные данные или выбросы определенным большим или малым значением за пределами значений отсчетов).

Рис. 10.2.4. Восстановление незашумленных данных. Рис.10.2.5. Спектры.

Рис. 10.2.6. Восстановление зашумленных данных.

Как следует из рис. 10.2.5, спектр полезного сигнала полностью находится в зоне единичного коэффициента частотной характеристики оператора, и восстановление данных выполняется практически без погрешности (рис. 10.2.4). При наложении на сигнал статистически распределенных шумов (рис. 10.2.6) погрешность восстановления данных увеличивается, но для информационной части полного сигнала она, как и во входных данных, она не превышает среднеквадратического значения (стандарта) флюктуаций шума. Об этом свидетельствует рис. 10.2.7, полученный для сигналов на рис. 10.2.6 по данным математического моделирования при разных значениях стандарта шума (выборки по 10 точкам восстановления).

Рис. 10.2.7. Погрешности восстановления сигналов.