1.1.1 Сущность явления Гиббса

Функции во временном окне селекции П_N(n) в частотном пространстве соответствует спектральная функция, которая в определенной степени должна отличаться от функции H(Очевидно, что при усечении оператора h(n), а значит и ряда Фурье (1.1), до конечного числа членов N мы будем иметь усеченный ряд Фурье:

H_N() = h(n) exp(-jn), (1.1.1)

при этом сходимость суммы остающихся членов ряда H_N() к исходной передаточной функции H() ухудшается и происходит отклонение частотной характеристики фильтра от первоначальной в тем большей степени, чем меньше значение N. Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах (разрывах, скачках) в передаточных функциях:

- крутизна перепадов "размывается", т.к. она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (1.1.1);

- по обе стороны "размытых" перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (1.1).

Эти эффекты при усечении рядов Фурье получили название явления Гиббса. Рассмотрим явление Гиббса более подробно на примере разложения в ряд Фурье частотной функции единичного скачка G(), которая является Фурье-образом какой-то дискретной временной функции b_n. Уравнение функции единичного скачка:

G() = -0.5 при -0, (1.1.2)

= 0.5 при 0  .

Функция (1.1.2) имеет разрыв величиной 1 в точке = 0 и, в силу дискретности временной функции и периодичности ее спектра, в точках , 2 и т.д. Поскольку функция G() является нечетной, ее ряд Фурье не содержит косинусных членов, и коэффициенты ряда определяются выражением:

b_n = G() sin(n) d = sin(n) d.

b_n = 2/(n·), n- нечетное,

b_n = 0, n- четное.

Рис. 1.1.1. Значения коэффициентов b_n.

Как видно на рис. 1.1.1, ряд коэффициентов b_n затухает очень медленно. Соответственно, медленно будет затухать и ряд Фурье функции G():

G() = (2/)[sin + (1/3)·sin 3+ (1/5)·sin 5+....].

G() = sin[(2n+1)]/(2n+1). (1.1.3)

Рис. 1.1.2. Явление Гиббса.

Если мы будем ограничивать количество коэффициентов b_n, т.е. ограничивать значение N ряда Фурье функции G(), то суммирование в (1.1.3) будет осуществляться не до ∞, а до значения N. Графики частичных сумм ряда (1.1.3) в сопоставлении с исходной функцией приведены на рис. 1.1.2. Они наглядно показывают сущность явления Гиббса.

При усечении рядов Фурье определенное искажение функции, разложенной в ряд Фурье, существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.