logo
07_premer_2003

Цілі числа

  1. Записати дане натуральне число у римській системі числення.

  2. За відомим записом натурального числа римськими цифрами відновити його запис у десятковій системі числення.

  3. Обчислити чисельник і знаменник нескоротного дробу, що дорівнює:

а) 1/2 + 1/6 + 1/12 +…+ 1/((n–1)∙n); б) 1 + 1/2 + 1/3+ …+ 1/n.

  1. Обчислити: а) nm; б) n!; в) n!/ k!(n–k)!; г) ланцюговий дріб; д) перші n чисел Фібоначчі.

  2. Для натурального n з’ясувати, чи можна n! подати добутком k послідовних натуральних чисел.

  3. Знайти j-цифрове натуральне число в системі числення з основою p, k-й степінь суми цифр якого дорівнює йому самому.

  4. З’ясувати, скільки існує j-цифрових чисел: а) з даними остачами при діленні на дані числа; б) остачі яких при діленні на дані цілі числа рівні.

  5. У старояпонському календарі кожен з 12-ти послідовних років має назву звіра (пацюк, бик, тигр, заєць, дракон, змія, кінь, вівця, мавпа, півень, собака, кабан), а кожен з 5-ти має колір (зелений, червоний, жовтий, синій, чорний). З’ясувати, яка назва року n, якщо 1984 рік – рік зеленого пацюка.

  6. Нескінченні арифметичні прогресії натуральних чисел задано першими членами та різницями. Знайти найменший спільний член усіх прогресій.

  7. Для натурального n обчислити значення функції f(n), заданої рекурентно: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2n) = f(n), f (2n+1) = f (n) + f (n + 1).

  8. Даний звичайний дріб подати сумою (єгипетських) дробів, чисельники яких дорівнюють 1.