Економічна кібернетика

5. Симплекс-метод розв’язання задачі дробово-лінійного програмування

Задачу дробово-лінійного програмування в канонічній формі запишемо у вигляді симплекс-таблиці, записавши окремими рядками чисельник та знаменник дробово-лінійної цільової функції :

	"-X1"	"-X2"	"-X3"	"-X4"	"-X5"	1	min
y1	1	2	-1	0	0	11	11
y2	1	-1	0	1	0	8	8
y3	-1	3	0	0	1	9	-9
p	-2	-1	0	0	0	0
q	-1	-1	0	0	0	0

Опорний план (допустимий розв’язок) знаходиться за алгоритмом задач лінійного програмування.

Виконаємо k кроків МЖП

	y2	"-X2"	"-X3"	"-X4"	"-X5"	1	min
y1	-1	3	-1	-1	0	3	1
"X1"	1	-1	0	1	0	8	-8
y3	1	2	0	1	1	17	8,5
p	2	-3	0	2	0	16
q	1	-2	0	1	0	8

	y2	y1	"-X3"	"-X4"	"-X5"	1	min
"X2"	-0,33	0,33	-0,33	-0,33	0,00	1,00	-3
"X1"	0,67	0,33	-0,33	0,67	0,00	9,00	-27
y3	1,67	-0,67	0,67	1,67	1,00	15,00	22,5
p	1,00	1,00	-1,00	1,00	0,00	19,00
q	0,33	0,67	-0,67	0,33	0,00	10,00

	y2	y1	y3	"-X4"	"-X5"	1	min
"X2"	0,50	0,00	0,50	0,50	0,50	8,50	17
"X1"	1,50	0,00	0,50	1,50	0,50	16,50	33
"X3"	2,50	-1,00	1,50	2,50	1,50	22,50	15
p	3,50	0,00	1,50	3,50	1,50	41,50
q	2,00	0,00	1,00	2,00	1,00	25,00
d1, d2, f	4,50	0,00	-4,00	4,50	-4,00	1,66

d1,d2=:3.5*25-2*41.5=4.5;

0*25-0*41.5=0;

1.5*25-1*41.5=-4

3.5*25-2*41.5=4.5

1.5*25-1*41.5=-4

f=41.5/25=1.66

В наступній симплекс-таблиці з допустимим базисним розв’язком , що відповідає . Дробово-лінійна функція цілі досягає максимального значення F=1,66.

6. Задача визначення оптимального плану виробництва: для деякої виробничої системи (цеху, підприємства, галузі) необхідно визначити план випуску n видів продукції Х = (х₁, х₂, …, х_n) за умови найкращого способу використання її наявних ресурсів. У процесі виробництва задіяні m ресурсів: сировина, трудові ресурси, технічне оснащення тощо. Відомі загальні запаси ресурсів , норми витрат і-го ресурсу на виробництво одиниці j-ої продукції та прибуток з одиниці j-ої реалізованої продукції .

Критерій оптимальності: максимум прибутку.

Позначимо через х₁, х₂, …, х_n обсяги виробництва відповідно першого, другого і т. д. видів продукції.

Оскільки на одиницю продукції 1-го виду витрачається ресурсу першого виду, то на виробництво першого виду продукції обсягом х₁ необхідно витратити а₁₁х₁ цього ресурсу. На другий вид продукції обсягом х₂ витрати першого ресурсу дорівнюватимуть а₁₂х₂ і т. д. На виробництво всіх видів продукції буде використано такий обсяг першого ресурсу: а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + + а₁_nx_n. Ця величина має не перевищувати наявного обсягу першого ресурсу — b₁. Отже, обмеження щодо використання першого ресурсу матиме вигляд: а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а₁_nx_n ≤ b₁. Аналогічно записують обмеження стосовно використання всіх інших виробничих ресурсів. Прибуток від реалізації виготовленої продукції всіх видів становитиме: с₁х₁ + с₂х₂ + … + с_nx_n.

Загалом лінійна економіко-математична модель даної задачі матиме вигляд:

за умов:

Математична модель виробничої задачі може бути застосована для різних економічних задач, де виникає проблема вибору найкращого варіанта розподілу обмеженої кількості ресурсів, хоча з першого погляду може здаватися, що постановка задачі не стосується виробничих процесів.

Білет №27

Содержание