2. Загальна постановка дискретної задачі оптимізації

Постановка задачі: Нехай деяка економічна система розвивається в часі. У будь-який момент часу t система може знаходитись в одному з її можливих станів . Кожний стан характеризується набором параметрів , які повністю його описують. Розвиваючись у часі, під впливом певним чином вибраного управління , система переходить з деякого початкового стану у кінцевий , де - відповідно початковий та кінцевий стан системи. Послідовність станів за етапами розвитку системи задає траєкторію її розвитку , . Необхідно знайти таке управління , при якому з допустимих траєкторій можна вибрати таку , при якій функціонал L обертався б на мінімум .

Для розв’язку задачі позначимо: - стан у рік t, отриманий у результаті застосування частково-оптимального управління u_t; - значення критерію відповідно до частково-оптимальної траєкторії в рік t; R₀ –затрати, зроблені в нульовий рік; R_t –затрати, зроблені за період [t-1;t]. Тоді формування критерію за роками розвитку системи запишемо так:

Таким чином, ф-ція-критерій L є адитивною та суворо монотонно зростає за R_t , де t є [0,T]. Такі ф-ції називаються монотонно-рекурсивними. Для їх оптимізації використовується правило відбору варіантів.

Правило відбору варіантів будується на підставі заг. принципу оптимальності, який формулюється так: коли існують два варіанти поведінки, що застосовуються до одного й того ж самого стану, який одержаний на деякому етапі процесу розв’язку, причому перший варіант дає менше значення ф-ції-критерію, ніж другий, тоді при мінімізації функціоналу другий варіант поведінки не може бути частиною оптимальної траєкторії.