1. Поняття опуклої функції та її застосування в задачах оптимізації

Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних x_j , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення:

(8.1)

за умов:

( ); (8.2)

. (8.3)

Якщо всі функції та , є лінійними, то це задача лінійного програмування, інакше (якщо хоча б одна з функцій є нелінійною) маємо задачу нелінійного програмування.

Розглянемо задачу нелінійного програмування, яку, не зменшуючи загальності, подамо у вигляді:

, (8.22)

, (8.23)

. (8.24)

Нехай задано n-вимірний лінійний простір Rⁿ. Функція , що задана на опуклій множині , називається опуклою, якщо для будь-яких двох точок та з множини X і будь-яких значень виконується співвідношення:

. (8.27)

Якщо нерівність строга і виконується для , то функція називається строго опуклою.

Якщо нерівність строга і виконується для , то функція називається строго опуклою.

Нехай — точка, в якій . Тоді в точці досягається локальний мінімум, що збігається з глобальним.

Опукла функція дозволяє розв’язувати задачі опуклого програмування – задачі оптимізації, цільова функція та допустима множина яких – опуклі.