3.2. Дискретизация аналоговых сигналов

По своей природе многие сигналы (телефонные, факсимильные, телевизионные) не являются цифровыми. Это аналоговые, или не­прерывные, сигналы.

Можно ли «переложить» живую человеческую речь на язык нулей и единиц, сохранив при этом все богатое разнообразие красок чело­веческого голоса, всю гамму человеческих эмоций? Другими словами, речь идет о том, как заменить непрерывный процесс последова­тельностью цифр, не потеряв при этом информации о непрерывном процессе.

С подобной проблемой мы сталкиваемся в жизни довольно час­то. Если через очень короткие промежутки времени (скажем, через 1 с) наносить значения температуры воздуха на график, то полу­чим множество точек, отражающих изменение температуры (рис. 3.1).

Таким образом, имеем дело не с непрерывной кривой изменения температуры, а лишь с ее значениями, отсчитанными через определенные промежутки времени. По сути говоря, мы опи­сали некоторый непрерывный процесс последовательностью деся­тичных цифр. Подобный процесс называется дискретизацией не­прерывного сигнала. Невыясненным остался вопрос, как часто следует брать отсчетные значения непрерывной кривой, чтобы от­следить все ее изменения. Так, при более длительных проме­жутках времени между наблюдениями за температурой воздуха не удается отследить все ее быстрые изменения.

Рис. 3.1. Дискретное измерение температуры

Рис. 3.2. Дискретизация телефонного сигнала

Аналогичный подход лежит в процессе дискретизации телефонно­го сигнала. Если в цепь микрофона (рис. 3.2), где ток является непре­рывной функцией времени, встроить электронный ключ и периодиче-на короткие мгновения замыкать его, то ток в цепи будет иметь вид узких импульсов с амплитудами, повторяющими форму непрерывнoro сигнала, и представлять собой ничто иное, как дискретный сигнал (см. рис. 3.2).

Интервал времени t_Д через который отсчитываются значения не­прерывного сигнала, называется интервалом дискретизации. Об­ратная величина 1/t_Д (обозначим ее f_Д) называется частотой взятия отсчетов, или частотой дискретизации.

Отсчеты непрерывного сигнала, так же, как и отсчеты температу­ры, следует брать с такой частотой (или через такой интервал време­ни), чтобы успевать отследить все, даже самые быстрые, изменения сигнала. Иначе при восстановлении этого сигнала по дискретным от-счетам часть информации будет потеряна и форма восстановленного сигнала будет отличаться от формы исходного (рис. 3.3). Это означает, что звук на приеме будет восприниматься с искажениями.

Рис. 3.3. Искажение формы восстановленного сигнала

Чтобы разобраться с этим вопросом, начнем с колебания струны. Вы тронули струну, она стала вибрировать и своим движением то сжимать, то разряжать окружающий воздух или, другими словами, то повышать, то понижать его давление. Слои воздуха повышенного и пониженного давления начали разбегаться во все стороны от колеб­лющегося тела. Образовалась звуковая волна. Нечто похожее на­блюдаем, когда бросаем камни в воду и смотрим на расходящиеся кругами волны. Гребни этих волн можно сравнить с областью сжатого воздуха, впадины - с областью разреженного воздуха.

Давление звуковой волны, распространяющейся от струны, из­меняется во времени по закону синусоиды. Чтобы отследить все ее изменения, очевидно, достаточно брать отсчетные значения в мо­менты, соответствующие максимумам и минимумам синусоиды, т.е. с частотой, превышающей по крайней мере вдвое частоту звукового колебания. Например, если струна совершает 20 колебаний/с (час­тота 20 Гц), то максимальное звуковое давление будет наблюдаться через каждый 1/20 с, т.е. через 50 мс. Максимумы и минимумы кри­вой звукового давления разделены интервалами в 25 мс. Значит, отсчетные значения по кривой должны следовать не реже, чем че­рез 25 мс, или с частотой 40 отсчетов/с (40 Гц). Обычно отсчетные значения на кривой берут «с запасом»: не в 2 раза чаще, чем колеб­лется звук, а, скажем, в 10 раз. В этом случае они очень хорошо пе­редают форму кривой.

Интересен случай, когда звуковые волны излучают две одно­временно колеблющиеся струны. На рис. 3.4 показаны три вариан­та: вторая струна колеблется в 2, 3 и 10 раз чаще, чем первая. Давления двух звуковых волн на пластину, помещенную на их пути, складываются. График результирующего давления уже не являет­ся синусоидой. Мы видим, что быстрые изменения в этой кривой обусловлены более высокочастотным колебанием (в данном слу­чае колебанием второй струны). Для того чтобы отследить все бы­стрые изменения результирующего звукового давления, отсчетные значения следует брать с частотой, по крайней мере, вдвое пре­вышающей частоту колебания второй струны. В последнем вари­анте частота взятия отсчетных значений должна превышать 400 Гц. Это означает, что отсчетные значения должны следовать не реже, чем через 1/400 = 0,0025 с = 2,5 мс, а лучше - еще чаще, на­пример через 0,5 мс.

При изучении речи (см. п.1.3) мы выяснили, что голосовые связки у человека играют роль струн. Самое высокочастотное колебание этих «струн», которое по рекомендации МСЭ необходимо еще учитывать, имеет частоту 3400 Гц. При переходе от аналогового речевого сигна­ла к цифровому это значение обычно округляют до 4000 Гц. Это зна­чит, что при замене непрерывной кривой электрического тока на выходе микрофона телефонного аппарата отсчетными значениями по-следние необходимо брать с частотой 8000 Гц или, другими словами, не реже, чем через 1/8000 = 0,000125 с = 125 мкс.

Рис. 3.4. Дискретизация кривых звукового давления при различных частотах колебания струн

Сравнение рис. 3.2 и рис. 2.9, б показывает, что при дискретизации сигнала узкими прямоугольными импульсами получается АИМ-сигнал, спектр которого изображен на рис. 2.10.

Спектр дискретного сигнала содержит спектр исходного сигнала (в диапазоне частот от 0 до F). Чтобы восстановить исходный сигнал из дискретного, достаточно пропустить дискретный сигнал через Фильтр нижних частот с граничной частотой полосы пропускания F и подавить все «боковые» спектры. На выходе такого фильтра поя­вится исходный непрерывный сигнал.

При слишком редкой дискретизации (низкая частота дискретизации f_Д и большой интервал дискретизации t_Д) будет иметь место нало­жение на спектр исходного сигнала «бокового» спектра. Это приведет к искажению формы исходного спектра, и значит, к отличию восста­новленного сигнала от исходного. Наоборот, более частая дискрети­зация позволит легко восстановить непрерывный сигнал из дискрет­ного с помощью несложного фильтра нижних частот. Таким образом, для безыскаженного восстановления непрерывного сигнала из дис­кретного необходимо частоту дискретизации f_Д выбирать не ниже удвоенной ширины его спектра. Для телефонного сигнала, как мы это видим, f_Д = 8 кГц.

В 1933 г. в работе «О пропускной способности «эфира» и проволо­ки в электросвязи» В.А. Котельников доказал теорему, ставшую осно­вополагающей в теории и технике цифровой связи. Суть этой теоре­мы состоит в том, что непрерывный сигнал, у которого спектр ограни­чен частотой F, может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым с частотой f_д = 2F, т.е. через ин­тервалы времени t_Д = 1/2F.

Мы не приводим полную математическую формулировку теоремы, а также ее доказательство, а лишь ограничиваемся указанием сути теоремы. Однако справедливость ее только что была обсуждена и легко усматривается из рис. 2.10.