1.1 Спектры периодических сигналов

Все сигналы могут быть подразделены на периодические и непереодические.

Периодическим называется сигнал, значения которого повторяются через определенные равные промежутки времени, называемые периодом повторения сигнала, или просто периодом. Для непериодического сигнала это условие не выполняется.

Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание.

s(t)=Ssinωt,

где S, ω – амплитуда и угловая частота колебания.

Другим примером периодического сигнала является последовательность прямоугольных импульсов (рис. 1.1, а). Как вы думаете, из чего состоит эта последовательность импульсов? Оказывается, из синусоид. Взгляните на рис. 1.1. В качестве исходной синусоиды выберем такую, у которой период колебаний совпадает с периодом Т прямоугольных импульсов (рис. 1.1, б):

s(t)=S₁sinω₁t,

где S₁ – амплитуда синусоиды, а ω₁ = 2π/Т.

Колебание (1.1) заданной частоты ω₁ и амплитуды S₁ можно представить в виде графика: на оси частот отметить значение ω₁ и изобразить вертикальную линию высотой, равной амплитуде сигнала S₁ (см. рис. 1.1, б).

Следующая синусоида имеет частоту колебаний в 3 раза большую, а амплитуду – в 3 раза меньшую.

Сумма этих двух синусоид S₁sinω₁t + (S₁/3)sin3ω₁t пока еще мало похожа на прямоугольные импульсы (рис. 1.1, в). Но если мы добавим к ним синусоиды с частотами колебаний в 5, 7, 9, 11 и т.д. раз большими, а с амплитудами в 5, 7, 9, 11 и т.д. раз меньшими, то сумма всех этих колебаний:

Рис 1.1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов (а) и формирование ее сигнала (б-д)

где S₁ = (4/π)U = 1,27U, будет не так уже сильно отличатся от прямо­угольных импульсов (рис. 1.1, г и д). Таким образом, степень «прямоугольности» импульсов определяется тем, сколько синусоид со все более высокими частотами колебаний мы будем суммировать.

Может показаться, что представление прямоугольных импульсов в виде совокупности синусоид есть не более чем математический при­ем и не имеет никакого отношения к реальности. Однако это не так. Радиоинженерам хорошо знакомы приборы (они называются анали­заторами спектров), которые позволяют выделить каждую входящую в сложный сигнал синусоиду.

Рис. 1.2. Последовательность треугольных импульсов (а) и ее спектр (б)

Тот факт, что сигнал произвольной формы (а не только прямо­угольные импульсы) можно «разложить» на сумму обыкновенных си­нусоид, впервые доказал в 20-х годах XIX века французский матема­тик Ж. Фурье. Такой набор синусоид получил название спектра сиг­нала. Каждый сигнал (отличающийся от других по форме) имеет свой сугубо индивидуальный спектр, т.е. может быть получен только из синусоид со строго определенными частотами и амплитудами.

Так, сигнал треугольной формы (рис. 1.2, а) состоит из следующих синусоид:

и имеет спектр, изображенный на рис. 1.2,б.

Некоторые сигналы представляются в виде суммы не синусоид, а косинусоид:

s(t) = C₀ + C₁cosω₁t + C₂cos2ω₁t + C₃cos3ω₁t+…,

где С₀ – постоянная составляющая сигнала.

Например, для сигнала, изображенного на рис. 1.3, а, можно записать:

где

Сигнал, предстваленный на рис. 1.3, а можно получить, если гармоническое колебание пропустить через схему с диодом, которая известна под названием «однополупериодный выпрямитель».

Случай двухполупериодного выпрямления гармонического колебания сигнала показан на рис. 1.3, б. Для него можно записать:

где

Рис. 1.3. Сигналы, выпрямленные одно- (а) и двухполупериодным (б) выпрямителями

Многие сигналы состоят, в общем случае, как из синусоид, так и из косинусоид, т.е.

(1.2)

Используем известное тригонометрическое соотношение

Asin(ωt+φ) = Acosφsinωt + Asinφcosωt = Ssinωt + Ccosωt,

Где S = Acosφ и C = Asinφ,и заменим запись (1.2) на следующую:

(1.3)

Выражение (1.3) показывает, что любой периодический сигнал со­стоит из гармоник. В математике эту формулу называют рядом Фурье.

Если изобразить амплитуду A_k и фазу φ_k каждой гармоники на рисунке, то получим так называемые спектральные диаграммы сиг­нала (рис. 1.4, а, б), где линии, соответствующие амплитудам и фазам гармоник, называются спектральными линиями. Распределение ам­плитуд A_k гармоник по частоте называется спектром амплитуд это­го сигнала (см. рис. 1.4, а), а распределение фаз φ_k - спектром фаз (рис. 1.4, б).

Когда интересуют не значения амплитуд и начальных фаз гармо­ник сложного колебания, а только их частоты, то следует говорить о спектре частот сигнала.

Так как спектр периодического сигнала состоит из отдельных спек­тральных линий, его называют дискретным.

Частота первой гармоники сигнала определяется, как показано в (1.1), периодом сигнала: ω₁ = 2π/T. Если период сигнала оставить неизменным, а изменять только длительность импульсов (рис. 1.5, а и в), то частота первой гармоники будет той же самой для обоих сигна­лов. Изменится скорость убывания амплитуд гармоник (рис. 1.5, б и г). Чем короче импульс, тем медленнее убывают амплитуды гармоник и тем соответственно, большим числом гармоник следует представ­лять прямоугольные импульсы, чтобы сохранить достаточную степень их «прямоугольности».

Существует очень важное понятие - практическая ширина спек­тра сигнала. Интуитивно ясно, что если полоса пропускания какого-либо устройства недостаточно широкая, чтобы пропустить все гармо­ники, существенно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства исказится. Таким образом, можно сказать, что шири­на полосы пропускания устройства не должна быть уже ширины спек­тра сигнала.

Что же следует считать шириной спектра сигнала, если число гар­моник в сигнале бесконечно? Существует несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала.

Рис. 1.5. Изменение спектра амплитуд (6 и г) при уменьшении длительности импульсов (а и в)

Например, мож­но отбрасывать все гармоники с амплитудами меньшими 1 % макси­мальной амплитуды в спектре, тогда частоты оставшихся гармоник и определят ширину спектра сигнала. Можно отбрасывать те гармони­ки, суммарная энергия которых меньше 10 % общей энергии сигнала. В этом случае ширину спектра также определяют оставшиеся в сиг­нале гармоники.

Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить такие общие для всех сигналов за­кономерности: чем круче фронт сигнала, чем короче импульсы и чем больше пауза между импульсами, тем шире во всех этих случаях спектр сигнала, т.е. тем медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их номера.