Формулировка задачи математического программирования

Задачи математического программирования, как правило, содержат большое число переменных и ограничений и не всегда допускают умозрительный анализ. Здесь требуется тщательная формализация и включение в математическую модель всех сколько-нибудь существенных ограничений.

Прежде чем построить математическую модель задачи, необходимо четко разобраться с ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения заданной задачи, а не математики, ответить на следующие вопросы:

1) Что является искомыми величинами задачи?

2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?

3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

После предварительной постановки задачи получают ее формальное решение для простейших случаев, на которых можно проанализировать корректность поставленной задачи. На основании такого анализа вводятся дополнительные параметры и ограничения, проверяется корректность отнесения задачи к тому или иному классу, корректность введения линейности.

Общая схема формализации на основании содержательного описания задачи:

1.Определение переменных задачи (основных параметров).

2. Определение управляющих переменных, характеризующих существо действий и их элементарных составляющих.

3. Формулировка критериев эффективности через параметры и управляющие переменные.

4. Определение ограничений (области допустимых решений) через переменные задачи.

Задача математического программирования содержит n переменных x_i (i=1, 2,. . . , n), образующих n-мерный вектор переменных х.

На переменные накладываются ограничения - в форме равенств h_i(x) = 0, i = 1, . . . , p или неравенств g_i(x) ≥ 0, i = 1, . . . , q.

f(x) – целевая функция (в общем случае нелинейная) всех или некоторых переменных x_i (i=1, 2,. . . , n).

Задача математического программирования формулируется следующим образом:

Минимизировать (или максимизировать) f(x) при условиях g_i(x) ≥ 0, i = 1, . . . , q; h_i(x) = 0, i = 1, . . . , p. Или кратко Min { f(x)│ g_i(x) ≥ 0, i = 1, . . . , q; h_i(x) = 0, i = 1, . . . , p}.