logo
Мат мод консп сум-2012

7.2 Уравнения движения

Одна из основных задач классической механики - задача прогнозирования движения различных тел и сред – решается на основе математической модели механического движения, которая представляет собой систему дифференциальных уравнений относительно координат и скоростей движущегося объекта. С помощью дифференциальных моделей решается большинство задач механики, гидродинамики, электродинамики и др.

Принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновременно действует несколько сил, то каждая из них сообщает точке ускорение, определяемое 2-м законом Ньютона так, как если бы других сил не было, результирующее ускорение определяется действием результирующей силы.

Пример проекции сил.

Тело может находиться в равновесии, если сумма проекций приложенных к нему сил на любое направление равна нулю.

F1x = x1 – x2, F2x = x2 – x3, F = x3 – x1.

При равновесии сумма проекций сил равна нулю:

F1x + F2x + F = 0.

Действие трех сил на тело.

Действующие силы: тяжести P Mg, натяжения нити Т mg, реакции (ограничивают движение тела) R. P2 = Psinα = Mgsinα  

Равновесие обеспечивается при Т = Р2, R  = Р1.

Тогда условие равновесия:

Mgsinα  = mg, Msinαm.

В ращение тела вокруг жесткой оси. Если сила F не проходит через ось вращения – на тело действует сила вращения. Сила F1, которая проходит через ось вращения тела уравновешивается силой реакции R = F2. Вращение – только под действием силы F1, перпендикулярной линии, проходящей через точку А приложения силы и ось вращения О.

Для равновесия тела, закрепленного на оси, существенен не сам модуль силы, а произведение модуля на расстояние (плечо) – момент силы относительно оси: M = F1r. Если момент равен нулю – сила не вызывает вращения.

Согласно законам Ньютона все изменения состояния движения вызываются силами.

Уравнения движения определяют соотношения между скоростью, перемещением и временем.

Силу, как и любой вектор можно спроектировать на любую ось.

Уравнение движения материальной точки (системы точек) определяет связь ускорения wi и силы Fi, называется дифференциальным уравнением движения точки, и записывается в соответствии со вторым законом Ньютона:

mid2 / dt2 = i ( , d /dt, t), i = 1,. . ., N,

где mi - масса материальной точки, t > 0 – время, - ее радиус-вектор, i - результирующая всех действующих на нее сил. Через обозначено множество координат всех точек системы. Величины i считаются заданными и могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат и скоростей всех рассматриваемых точек.

Величины i считаются заданными и могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат и скоростей всех рассматриваемых точек.

Силу, как и любой вектор, можно спроектировать на любую ось. Проекция вектора на ось равна разности координат начала и конца отрезка:

m , m , m .

Различают два вида движения: поступательное и вращательное.