Аналитические и статистические модели

Известны аналитические соотношения теории массового обслуживания, связывающие характеристики потока заявок и параметры системы с показателями качества обслуживания для простейшего (пуассоновского) потока, к которому могут быть сведены многие практические задачи.

Разработанные аналитические методы обычно относятся к моментам времени, достаточно удаленным от начала процесса – когда уже наступил стационарный режим.

Обобщение математической модели массового обслуживания идет по следующим направлениям.

Рассматривался однородный поток заявок, но на практике более распространены задачи, требующие учета имеющейся неоднородности заявок в потоке. Особенно это существенно тогда, когда параметры процесса обслуживания (например, его длительность, качество и др.) зависят не только от времени поступления заявки, но и от ее характеристик.

Примеры. При обработке детали на станке время обработки зависит от ее сложности, размеров, характеристик материала и т.п. При обработке потока самолетов в аэропорт помимо времени прибытия учитывается тип самолета, скорость, высота, курс, длина пробега и т.п.

В случае неоднородных заявок (для их описания необходимо привлекать другие параметры, кроме момента поступления в систему) применяется обобщенное понятие потока: каждая j-ая заявка характеризуется моментом поступления t_j и n параметрами а₁, а₂, . . . , а_n.

Другими словами, каждая заявка представляет собой (n + 1)-мерный вектор вида v_j = v (t_j, α_1j, α_2j, . . . , α_nj) в пространстве параметров t, α₁, α₂, . . . , α_n.

Часто приходится учитывать случайные отклонения от нормы не только моментов поступления, но и случайный характер параметров заявок (размеров, температуры, скорости, твердости, координат и др.). Поэтому в общем случае заявки описываются случайными векторами, и мы приходим к необходимости рассматривать случайные потоки векторов.

В рассмотренных системах параметры системы обслуживания предполагались независимыми от потока заявок.

При неоднородном потоке заявок параметры системы обслуживания (число каналов, характеристики закона распределения времен занятости канала, например, среднее время обслуживания) реально могут зависеть от характеристик потока заявок. Если считать поток заявок потоком случайных векторов, то параметры системы обслуживания могут быть функциями t_j и величин α_1j, α_2j, . . . , α_nj Например, длительность обработки детали может определяться ее размерами, твердостью материала, температурой и др.

Аналитические математические модели могут быть построены для каждого типа системы с простейшим потоком заявок (с ожиданием, без ожидания и др.).

Аналитические методы анализа систем массового обслуживания пригодны для получения качественных характеристик и практически могут использоваться для сравнительно простых случаев.

Реальные входные потоки по своим свойствам далеко не всегда соответствуют простейшему потоку, время обслуживания часто распределяется не по показательному закону, дисциплина обслуживания может быть достаточно сложной.

На практике приходится сталкиваться с многофазными системами. Системы массового обслуживания, составляющие различные фазы обслуживания, могут быть неодинаковыми, и характер операций, обслуживания на различных фазах, может быть различным. На последующих фазах могут появиться заявки, которые не поступали на предыдущие фазы, может оказаться, что обслуживание, относящееся к последующей фазе, начинается еще до окончания обслуживания еще на предыдущей фазе и т.д.

Порядок использования свободных линий (каналов) и порядок выбора заявок из очереди может не устанавливаться заранее, и в процессе обслуживания заявок изменяться и не зависеть от характеристик потока заявок.

В реальных процессах, которые могут быть представлены как системы массового обслуживания (например, в процессах с управлением), может содержаться элемент, способный определять оптимальный порядок обслуживания.

Для математического описания процессов с управлением удобно использовать такие системы массового обслуживания, которые снабжены специальным алгоритмом, позволяющим по известным данным о заявках и состояниях обслуживающих средств определить порядок обслуживания, и, возможно, целесообразное изменение структуры самой системы. Пример такой системы массового обслуживания – моделирование дискретных производственных процессов.

Для анализа стохастических систем, когда аналитическое описание процесса получить затруднительно, используется метод статистического моделирования (имитационного моделирования).

Вместо того, чтобы описывать случайное явление аналитически, производится его моделирование с помощью некоторой процедуры, дающей случайный результат. С помощью специальных моделирующих алгоритмов формируются реализации потока заявок с заданным законом распределения интервалов между заявками. Здесь самое главное – определить вид закона распределения.