Понятие вариационных принципов

Вариационные принципы представляют собой общие утверждения об объекте (системе, явлении) и гласят, что из всех возможных вариантов поведения (движения) выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенным условиям. Обычно это достижение экстремального значения некоторой величины при переходе из одного состояния в другое.

Например: законы преломления оптики, движение автомобиля по пересеченной местности – выбирается путь, требующий минимальной затраты времени.

Вариационные принципы уточняются по мере развития человеческих знаний.

В основе вариационных принципов положен анализ соотношения таких философских категорий, как возможность и действительность.

Действительные движения, путь, энергия или другие характеристики материальных систем отличаются от многообразия возможных, но не реализующихся движений – действительные значения могут быть представлены как экстремальные случаи из всех мыслимых.

Классическая механика основывается на законах Ньютона, установленных для свободных материальных точек, и аксиомах связей – справедливость принципов доказывается исходя из этих аксиом. С другой стороны, любой из принципов можно принять за аксиому и из нее логически вывести законы механики.

Дифференциальные уравнения движения, все положения и законы механики могут быть получены как следствие некоторых более общих положений – вариационных принципов механики. Законы сохранения эквивалентны вариационным принципам и поэтому могут рассматриваться как следствие последних.

В качестве основных моделей механики могут рассматриваться не только дифференциальные уравнения, связывающие параметры движения в данный момент, но также некоторые общие свойства, характеризующие движение механической системы в целом на любом произвольном отрезке времени - вариационные принципы, математически выраженные в форме вариационных соотношений из которых как логические следствия вытекают дифференциальные уравнения движения и все положения и законы механики. Построение моделей с помощью вариационных принципов по своей широте и универсальности сопоставим с возможностями, даваемыми фундаментальными законами.

Законы сохранения эквивалентны вариационным принципам и поэтому могут рассматриваться как следствие последних.

Один из вариационных принципов - принцип минимума рассеяния (диссипации) энергии (природа как бы выбирает наиболее экономный способ достижения цели).

Принцип минимума рассеяния (диссипации) энергии – из всех возможных траекторий перевода системы из одного состояния в другое реализуются лишь те, для которых затраты энергии минимальны. Выбирается такая траектория, двигаясь по которой система в максимальной степени поглощает энергию – траектория минимального рассеяния энергии.

Принцип диссипации энергии строго не доказан.

Принцип устойчивости: реализуются лишь устойчивые формы движения (неустойчивые формы если возникают, то быстро разрушаются^).

Принципы устойчивости и диссипации энергии в ряде случаев могут быть противоречить друг другу – иллюстрация закона единства и борьбы противоположностей.

Например, две формы движения жидкости – и ламинарное и турбулентное движения удовлетворяют законам сохранения. Если количество жидкости Q, протекающее через трубу в единицу времени мало, то реализуется устойчивый ламинарный режим. Он более экономичен, затраты энергии минимальны. Если ввести какое-либо возмущение, оно быстро затухнет. При Q > Q_крит ламинарный режим становится неустойчивым – реализуется турбулентный режим, как отвечающий принципу диссипации, которому отдается предпочтение перед принципом устойчивости.

Разнообразию уровней обобщений явлений в каждом конкретном случае исследований соответствуют различные формы и модификации вариационных принципов.

Вариационные принципы механики, характеризующие свойства движения, по форме подразделяются на дифференциальные принципы – характеризуют свойства движения для любого данного момента времени, и интегральные принципы - характеризуют свойства движения на любых конечных промежутках времени.