Модель колебательного процесса
Колебаниями или колебательным движением называется движение (изменение состояния), обладающее повторяемостью во времени - процесс изменения параметров системы с многократным чередованием их возрастания и убывания.
Колебания по своей физической природе весьма разнообразны (механические, электромагнитные колебания и др.).
Осциллятор - система, в которой какие-либо параметры совершают колебания при отсутствии переменных внешних воздействий.
При колебаниях происходит знакопеременное отклонение параметров от их определенных значений. Эти значения могут соответствовать установившемуся состоянию системы или изменяться во времени по некоторому закону. Как привило, колебания сопровождает преобразование одной формы энергии в другую.
Любые колебания представляют собой движение с переменным ускорением, отклонение (мгновенное перемещение относительно положения равновесия), скорость и ускорение являются функциями времени. Для любых колебаний характерна периодичность.
Маятник может не только колебаться со своей собственной частотой, его можно заставить колебаться под влиянием внешнего воздействия. Если это влияние периодическое, оно может навязать осциллятору свою частоту. Наличие маятника собственной частоты проявляется в явлении резонанса. Малое воздействие частоты, близкой к частоте маятника (резонансной частоты) может привести к сильным колебаниям, тогда как на далекое от собственной частоты воздействие маятник может реагировать слабо.
Общее представление об осцилляторе как колебательной системе, описываемой простым дифференциальным уравнением, стало основой общей для многочисленных конкретных случаев математической модели. Наука о колебаниях легла в основу радиотехники, радиофизики, прикладной и теоретической механики. В поведении осциллятора находят многие разнообразные явления. Одна из универсальных моделей – осциллятор механический, электрический. Механический маятник - в основе часов. Колебательный контур электрического маятника, состоящий из самоиндукции и емкости – в основе радиопередатчика и радиоприемника.
Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Период колебаний Т – наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебательное движение.
Отклонение х = f (t) – мгновенное перемещение относительно положения равновесия.
Амплитуда – А – максимальное абсолютное значение отклонения - максимальное отклонение Хmax, размах колебаний.
Частота колебаний – число полных колебаний в единицу времени = 1/Т (измеряется в герцах). Угловая частота = 2 = 2 / Т.
Фаза = t + 0. Характеризует мгновенное состояние колебательной системы и определяется двумя параметрами (отклонением и временем).
Зависимость от времени t, периодически колеблющейся физической величины S имеет вид:
S = S0 + х(t), где S0 – значение величины S в положении равновесия, х(t) – периодическая функция времени: х(t + T) = х(t).
Простейший тип периодических колебаний являются гармонические (синусоидальные) колебания:
х = A sin = A sin( t + 0) или x = A cos( t + 1), где A,, 0, 1 - постоянные величины, причем А > 0, > 0, 1 = 0 + /2. А – максимальное абсолютное значение х – амплитуда колебания.
Первая и вторая производная по времени от гармонически колеблющейся величины y также изменяется по гармоническому закону:
х’ = A cos( t + 0) = A sin( t + 0 + /2),
х’’ = - A2 sin ( t + 0) = A2 sin( t + 0 + ) = - 2х.
Следовательно, гармонически колеблющаяся величина х удовлетворяет уравнению (дифференциальное уравнение гармонических колебаний): х’’ + 2х = 0.
Это же соотношение получается и из геометрического построения, поскольку гармонические колебания можно рассматривать как проекцию равномерного движения по окружности.
Гармонические колебания представляют собой движение с переменным ускорением – ускорение является функцией времени.
Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды.
В ектор А, численно равный амплитуде колебаний, равномерно вращается против часовой стрелки вокруг оси О, перпендикулярной плоскости чертежа, с угловой скоростью . Если в момент времени t = 0 угол между вектором А и осью Ох равен 1, то проекция В конца этого вектора на ось Ох совершает гармонические колебания по закону x = A cos( t + 1).
Свободные колебания – колебания, которые возникают в системе, не подверженной действию внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от состояния начального равновесия.
При любых колебаниях отклонение системы вызывает появление восстанавливающей силы, которая стремится возвратить систему в положение равновесия. Линейный закон силы: восстанавливающая сила пропорциональна ускорению. Согласно основному закону динамики F = ma
При отклонении точки от положения равновесия потенциальная энергия возрастает, если после отклонения точка начнет движение, то при отсутствии сопротивления в силу закона сохранения энергии (кинетическая и потенциальная энергии системы равны) точка будет совершать незатухающие колебания относительно положения равновесия.
Движение шарика, присоединенного к пружине.
Рассмотрим модель движения шарика, присоединенного к пружине с жестко закрепленным концом.
Пусть r – координата шарика вдоль оси пружины, лежащей на горизонтальной плоскости. и направление движения шарика совпадает с ее осью. Тогда по второму закону динамики
F = ma = md2r/dt2,
где m – масса шарика, а – его ускорение. Будем считать плоскость идеально гладкой (движение происходит без трения), пренебрежем сопротивлением воздуха и примем во внимание то, вес шарика уравновешивается реакцией плоскости.
Единственная сила, действующая на шарик в направлении оси r, очевидно, сила упругости пружины. Определим ее, используя закон Гука, гласящий, что для растяжения (сжатия) пружины необходимо приложить силу
F = - kr,
Где коэффициент k > 0 характеризует упругие свойства пружины, а r – величину ее растяжения или сжатия относительно нейтрального, ненагруженного положения r = 0. Уравнение шарика принимает вид (уравнение элементарного осциллятора)
t > 0. (1)
Оно описывает его гармонические колебания и имеет общее решение
r(t) = r0 /ω sinωt + r0 cos ωt r = A cos (ωt+φ), (2)
где - частота колебаний пружины в отсутствии внешних сил или собственная частота колебаний системы "пружина – шарик", не зависящая от начальных условий и определяющая период Т = 2π/ω колебаний, измеряемый в секундах, - амплитуда колебаний, φ = arctg(ω r0 / v0). В отличие от угловой частоты, измеряемой в рад/с, частотf колебаний f = 2πω измеряется в герцах.
Значения коэффициентов определяются из начального состояния объекта, т.е. через величины r(t = 0) = r0 и v(t = 0) = v0 (v(t) - скорость шарика), причем r(t) ≡ 0 при r0 = v0 = 0.
Примеры иерархии модели.
Уточнение модели.
1. Пусть на шарик действует известная внешняя сила F (r, t), зависящая от времени и положения шарика. Она может порождаться полем тяготения, иметь электрическое или магнитное происхождение и т.д.
По сравнению с базовой моделью колебаний в правой части уравнения появляется дополнительный член – внешняя сила
md2r/dt2 = - kr + F (r, t).
Примем, что внешняя сила F постоянна F (r, t) = F0. Проводя замену r* = r - F0 / k, получаем для r*
d2r*/dt2 = - kr*,
т.е. постоянная сила не вносит изменений в процесс колебаний за тем исключением, что координата нейтральной точки, в которой сила, действующая на шарик равна нулю, сдвигается на величину F0 / k.
2. Рассмотрим случай, когда внешняя сила зависит от времени, для определенности примем эту зависимость периодической F (t) = F0 sinω1t:
md2r/dt2 = - kr + F (t) = - kr + F0 (t) = - kr + F0 sinω1t. (3)
Решение этого уравнения будем искать как сумму общего решения однородного уравнения (2) и частного решения неоднородного уравнения (3) в виде r1(t) = C sinω1t. Подстановкой этого выражения в (3) находим
С = F0 / (k - m ω12) = F0 / m (ω12 - ω12),
В итоге для общего решения системы (3) имеем
Внешняя сила F (t) приводит не только к появлению в системе дополнительных колебаний с частотой ω1, но и к возникновению резонанса – неограниченному росту амплитуды колебаний при ω1 → ω.
Учет силы трения.
Силы трения могут появиться по двум причинам: неидеальность поверхностей движения и сопротивление среды (воздуха, воды и т.п.).
В первом случае внешняя сила (сила трения) постоянна - пропорциональна весу и площади соприкосновения, не зависит от скорости и направлена против движения шарика (ее знак противоположен знаку скорости шарика).
Сила трения равна F = k1P, где – k1 коэффициент трения (на единицу поверхности), P = mg – вес шарика. Движение шарика подчиняется уравнению
md2r/dt2 = - kr – k1mg sign dr/dt.
Оно внешне похоже на уравнение с постоянной силой F0, но из-за знакопеременности не сводится к стандартному уравнению колебаний – эти уравнения описывают существенно разные процессы. В частности, амплитуда колебаний шарика существенно уменьшается со временем.
Во втором случае внешняя сила (сила трения) не постоянна - существенно зависит от скорости движения F = - μv, где коэффициент μ > 0 определяется размерами шарика, плотностью среды, ее вязкостью.
При малой вязкости в системе происходят затухающие со временем колебания, при большой вязкости колебания отсутствуют благодаря подавляющему действию сил вязкого трения.
- 1 Методологические основы моделирования сложных систем
- 1.1 Системность
- Понятия общей теории систем
- Определение понятия системы
- Основные свойства, обязательные для любой системы.
- Взаимодействие и взаимозависимость системы и внешней среды.
- Определение понятий элементов, связей, функций, внешней среды системы. Элемент
- Внешняя среда
- Функции системы
- Сложность систем
- Системный подход
- Классификация систем
- Развитие искусственной системы и ее жизненный цикл
- 1.2 Моделирование
- Общая методология моделирования
- Основные принципы моделирования:
- Процесс моделирования
- Анализ и синтез в моделировании
- Примеры сложных систем Космическая система наблюдения Земли как сложная техническая система Задачи космической системы наблюдения Земли
- Состав и структура космической системы наблюдения Земли
- 2 Построение математических моделей
- 2.1 Математическая модель, математическое моделирование – основные понятия, термины и определения
- Цели математического моделирования
- 2.2 Общие методы построения математической модели
- Микроподход и макроподход в исследованиях системы.
- Формальная запись модели системы
- Понятие вариационных принципов
- Модульное построение моделей
- 2.3 Требования к построению модели
- Адекватность и достоверность модели
- Равнозначимость внешнего и внутреннего правдоподобия
- Анализ чувствительности модели
- Пример анализа на чувствительность экономической задачи
- 3 Математические модели состояния и структуры системы
- 3.1 Модель состояния системы Состояние системы и ее функционирование
- Формализация процесса функционирования системы
- 3.2 Модель структуры системы Основные понятия структуры системы
- Модель состава и структуры системы
- Методология моделирования структуры системы
- Виды структур
- Формирование структуры модели с позиций структурного моделирования.
- Построение структурных моделей
- 3.3 Модель процесса функционирования
- Установление функциональных зависимостей
- Неопределенность функционирования системы
- Пути уменьшения неопределенностей
- Основные требования к модели процесса функционирования
- Анализ функционирования, анализ структуры технической системы
- Функционально – физический анализ технических объектов.
- Пример разработки моделей деятельности организации
- Пример функционально – физического анализа технических объектов
- Конструкция бытовой электроплитки
- Функционально стоимостной анализ.
- 4 Этапы построения моделей
- 4.1 Постановка задачи моделирования
- Разработка содержательной модели
- Разработка концептуальной модели
- Описание внешних воздействий
- Декомпозиция системы
- Подготовка исходных данных для математической модели
- Содержание концептуальной модели
- 4.2 Разработка математической модели
- Разработка функциональных соотношений
- Выбор метода решения задачи
- Проверка и корректировка модели
- Анализ чувствительности модели
- Проверка адекватности модели
- Контроль модели
- Корректировка модели
- Уточнение модели проектируемого объекта
- Реализация математической модели в виде программ для эвм
- 4.3 Практическое использование построенной модели и анализ результатов моделирования
- Примеры построения моделей Математическая реставрация Тунгусского феномена
- 1. Сбор информации о явлении, выдвижение гипотез.
- 2. Содержательная постановка задачи исследования явления.
- 3. Математическая постановка задачи.
- 4. Анализ результатов.
- 5. Проверка адекватности модели – сравнение с натурным экспериментом.
- 6. Анализ результатов.
- Прогноз климатических изменений
- 1. Содержательная постановка задачи
- 2. Концептуальная постановка. Построение математической модели.
- 3. Проведение вычислительного эксперимента.
- 4. Анализ результатов вычислительного эксперимента.
- 5 Виды математических моделей
- 5.1 Классификация математических моделей
- Пример представления модели различной сложности и классификации.
- 5.2 Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- Линейные и нелинейные модели
- Обыкновенные дифференциальные модели
- 5.3 Классификация математических моделей в зависимости от параметров модели Непрерывные и дискретные модели
- Детерминированные и неопределенные модели
- Дискретно-детерминированная модель
- Статические и динамические модели
- Стационарные и нестационарные модели.
- Формализация системы в виде автомата
- Формализация системы в виде агрегата
- Моделирование процесса функционирования агрегата
- Моделирование агрегативных систем
- Модель сопряжения элементов
- 6 Математические модели распределения ресурсов в исследовании операций
- 6.1 Моделирование операций распределения ресурсов
- Формулировка задачи математического программирования
- 6.2 Модели линейного программирования
- Формулировка общей задачи линейного программирования.
- Типовые задачи линейного программирования
- Транспортная задача.
- Задача коммивояжера.
- Задача о ранце.
- Общая задача теории расписаний.
- Примеры сведения практических задач к канонической транспортной задаче
- 6.3 Распределительные задачи линейного программирования
- Примеры распределительных задач.
- Распределение транспортных единиц по линиям
- Выбор средств доставки грузов.
- Задача о назначениях
- Экономическая интерпретация задач линейного программирования.
- Перевозки взаимозаменяемых продуктов
- Перевозка неоднородного продукта на разнородном транспорте.
- 7 Математические модели физических явлений и процессов. Универсальность моделей
- 7.1 Математические модели на основе фундаментальных законов
- Теоретический метод составления математических моделей
- Основные фундаментальные законы механики
- Работа, энергия, мощность
- 7.2 Уравнения движения
- Динамика поступательного движения.
- 7.3 Уравнения состояния
- Термодинамическая система.
- Упругие свойства твердых тел.
- Жидкости.
- 7.4 Универсальность моделей
- Модели на основе аналогий
- Типовые математические модели элементов и подсистем
- Модель колебательного процесса
- Модель консервативной системы.
- Электрическая подсистема.
- Модели элементов гидравлических систем
- Модели элементов пневматических систем
- 8 Моделирование производственных процессов
- 8.1 Модели систем массового обслуживания
- Основные элементы систем массового обслуживания.
- Характеристики потока
- Классификация смо
- Оценка эффективности смо
- Аналитические и статистические модели
- 8.2 Модели производственных процессов
- Дискретный производственный процесс
- Непрерывный производственный процесс
- Агрегатное представление производственного процесса
- Имитационное моделирование процессов функционирования
- Формализация основных операций производственного процесса Формализованная схема дискретного производственного процесса.
- Формализация отклонения течения производственного процесса от нормального
- Моделирование комплексного процесса обработки, сборки и управления при поточном производстве
- Формализованная схема непрерывного производственного процесса.
- 9 Синтез модели (проекта) системы
- 9.1 Проектирование системы как процесс создания (синтеза) ее модели
- 9.2 Методология проектирования
- Типовые проектные процедуры формирования облика системы
- 9.3 Эффективность системы Понятие эффективности системы
- Формирование модели цели системы
- Выбор критериев и показателей эффективности
- Основные принципы выбора критериев эффективности:
- Проблемы многокритериальности
- 9.4 Технология проектирования
- 9.5 Принятие решений в проектировании
- Выбор в условиях неопределенности
- Моделирование принятия решения
- Прогнозирование в принятии решений
- 9.6 Анализ инвестиционной привлекательности системы Основные типы инвестиций.
- Основные экономические концепции инвестиционного анализа.
- Состав работ при инвестиционном проектировании
- Конкурентоспособность проектируемой системы Оценка потенциальной емкости рынка и потенциального объема продаж
- Оценка конкурентоспособности
- Методы оценки эффективности инвестиций
- Метод определения чистой текущей стоимости.
- Метод расчета рентабельности инвестиций
- Метод расчета внутренней нормы прибыли
- Расчет периода окупаемости инвестиций
- Маркетинг и управление проектом
- Задачи управления проектами
- 9.7 Особенности синтеза модели (проекта) технических систем Этапы проектирования
- Особенности проектирования адаптивных систем
- Моделирование функционирования технической системы Особенности построения моделей при проектировании
- Формирование технического облика системы
- Формирование структуры системы
- Выбор основных проектных параметров системы
- Формирование множества вариантов системы
- 10 Информационное обеспечение синтеза системы
- 10.1 Основные задачи и типы информационных систем Общие свойства информационных систем
- Файл-серверные информационные системы
- Клиент-серверные информационные системы
- Архитектура Интернет/Интранет
- Хранилища данных и системы оперативной аналитической обработки данных
- 10.2 Особенности проектирования информационных систем
- Схемы разработки проекта
- 1. Предпроектные исследования
- 2 Постановка задачи
- 3 Проектирование системы
- Архитектура программного обеспечения
- Подсистема администрирования.
- Техническая архитектура
- Организационное обеспечение системы
- 4 Реализация и внедрение системы
- 10.3 Концепции автоматизации проектирования
- История развития сапр
- Классификация сапр
- Стратегическое развитие сапр Современное состояние сапр
- Направления разработки проектной составляющей сапр
- Разновидности сапр
- Математическое и информационное обеспечение сапр
- 11 Моделирование процесса управления
- 11.1 Основные определения
- Формальная запись системы с управлением
- 11.2 Модели систем автоматического управления
- Устойчивость движения систем
- Определение программного движения и управление движением
- 11.3 Модели автоматизированных систем управления
- Модели автоматизированных систем управления производственными процессами
- Модели автоматизированных систем управления предприятием