Экономическая интерпретация задач линейного программирования.

Предприятие располагает определенными, ограниченными производственными мощностями - активными средствами (станки, сырье, рабочая сила, энергия и т.д.). Для изготовления различных видов изделий используются различные ресурсы.

Известны: общие запасы каждого ресурса, количество ресурсов каждого типа, затрачиваемое на изготовление одного изделия каждого вида, прибыль, получаемая от реализации одного изделия каждого вида. Требуется определить оптимальный состав производственного заказа изделий.

Возможная формулировка цели – максимизация прибыли, минимизация себестоимости, минимизация времени изготовления.

Параметры задачи:

n - число различных типов изделий (наименований);

m - число различных типов ресурсов (единиц оборудования);

Т_i – фонд времени работы i–ой единицы оборудования, i = 1, . . ., m;

g_k – число различных способов изготовления изделия к-го наименования, характеризующихся различным временем обработки на единице оборудования i–ого типа, к = 1, . . ., n;

tⁱ_kg  -  время обработки изделия к-го наименования, изготавливаемого g–ым способом на оборудовании i –ого типа, i = 1, . . ., m, к = 1, . . ., n, g = 1,…, g_k..

а_к  - спрос на изделие к-го наименования, к = 1, . . ., n.

S – размер склада для хранения изделий, выраженный в количествах изделий;

С_кg – себестоимость изготовления изделия  к-го наименования g–ым способом, к = 1, . . ., n, g = 1,…, g_k;

С_0к – требуемая себестоимость изготовления изделия  к-го наименования, к = 1, . . ., n;

П_к – прибыль от реализации изделия к-го наименования, к = 1, . . ., n.

Управляющие переменные:

х_кg – число изделий  к-го наименования, выпускаемых g–ым способом, к = 1, . . ., n, g = 1,…, g_k.

Ограничения (область допустимых решений):

- по фонду работы оборудования i = 1, . . ., m.

- по размеру склада

- по спросу к = 1, . . ., n.

по себестоимости изготовления , к = 1, . . ., n;

- по условию неотрицательности управляемой переменной (число изделий)

х_кg ≥ 0, к = 1, . . ., n, g = 1,…, g_k.

Формулировка критериев через параметры и управляющие переменные:

максимизация прибыли П - формирование производственного заказа (распределение между оборудованием и по способам производства), обеспечивающего максимальную прибыль

П =

Если прибыль нелинейно зависит от числа выпускаемых изделий

П = , где f- нелинейная функция;

- минимизация себестоимости (при отсутствии ограничения на себестоимость)

С = ;

- минимизация суммарного времени обработки (в часах) – станки начинают работать одновременно и работают параллельно

Т = .

Решения исходной задачи по любому из предложенных критериев служат переменные х_кg – число изделий  к-го наименования, выпускаемых g–ым способом, к = 1, . . ., n, g = 1,…, g, которые удовлетворяют ограничениям и доставляют экстремум какому либо критерию.

В результате определяют оптимальный план производства - оптимальный состав производственного заказа изделий.

Среди задач линейного программирования выделяются два класса широко распространенных специальных задач, для которых могут быть использованы простые алгоритмы решения. Это транспортная задача и задача о назначениях, к которым может быть сведено много практических задач: формирование оптимального плана перевозок, оптимального распределения индивидуальных контрактов на транспортировки, составление оптимального штатного расписания, определение оптимальной специализации предприятий, участков, станков, оптимальное использование торговых агентов.