Выбор метода решения задачи

Основные методы решения задач с помощью математической модели: аналитические или численные методы, имитационное моделирование.

Аналитические методы предполагают поиск искомых величин от исходных параметров модели в виде аналитических выражений. Аналитическое выражение (формула) – совокупность действий, которые нужно проделать в определенном порядке над значением аргумента и константами, чтобы получить значение функции.

Для использования аналитических методов необходимо математическую модель преобразовать к виду явных аналитических зависимостей между характеристиками и параметрами системы и внешних воздействий. Однако это удается лишь для сравнительно простых систем и при наличии хорошо разработанной теории исследуемых объектов.

Аналитическое выражение каждой функции одного переменного строится лишь из трех действий – сложение, умножение, переход к пределу.

При использовании аналитических моделей процессы функционирования элементов сложной системы записываются в виде, некоторых функциональных соотношений (алгебраических, и: интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий.

Аналитическая модель может исследоваться одним из следующих способов:

- аналитически, - когда получают в общем виде явные зависимое для искомых величин;

- численно, - когда, не имея решения уравнений в общем виде применяют средства вычислительной техники, чтобы получить числовые результаты при конкретных начальных данных;

- качественно, - когда, не имея решения в явном виде, можно: найти некоторые свойства решения, например, оценить устойчивое решения и т. п.

Для получения численных результатов разрабатываются соответствующие алгоритмы, реализуемые на ЭВМ.

Аналитические методы дают возможность выявить основные зависимости и определить направления дальнейших исследований. Во имя этого иногда сознательно идут на умышленное отступление от первоначальной модели, на упрощение и загрубление ее ради получения аналитических зависимостей и возможности решения задачи хоть и приближенного, но отражающего основные закономерности.

Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей.

Численные методы: первоначальная математическая модель преобразуется в систему уравнений, к которым применяется некоторый численный метод. С их помощью находятся точные решения небольшого числа частных реализаций процесса.

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента. В результате получается приближенной решение задачи, имеющее определенную погрешность.

Выделяют три основных составляющих возникающей погрешности:

-неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений;

-погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу;

-ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в ЭВМ,

Численный метод в общем случае по своей логической структуре весьма далек как от математической модели, так и от процесса-оригинала. Логическая структура метода и характер фигурирующей информации обусловлены скорее типом тех уравнений, к которым удалось свести первоначальную математическую модель. Численный метод всегда реализуется в виде вычислительного алгоритма.

Существует огромное разнообразие численных методов: интерполяция, численное дифференцирование, численное интегрирование, решения систем линейных и нелинейных уравнений, задачи Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, уравнений в частных производных и т.д. Это предполагает выбор метода с позиций эффективности, устойчивости, точности решения конкретной задачи (чаще всего определяется установившимися предпочтениями исследователя и его математической культурой – неформализуемо, как и вся вычислительная математика).

При моделировании сложных процессов далеко не всегда можно модель преобразовать в систему уравнений, пригодную для применения численных методов.

Для модели, сформулированной в терминах интегральных и дифференциальных уравнений функций непрерывного аргумента, осуществляется переход к дискретной модели - функции непрерывного аргумента заменяются функциями дискретного аргумента, интегральные и дифференциальные уравнения заменяются конечно-разностными. При этом интеграл заменяется конечной суммой, производная – разностным отношением, что приводит к погрешности результатов решения задачи.

Имитационное моделирование – численный метод исследования свойств системы, путем воспроизведения процесса ее функционирования с помощью вычислительного эксперимента с математической моделью системы – свойства системы определяются на основании анализа накопленного статистического материала. При имитационном моделировании динамические процессы системы – оригинала подменяются процессами, имитируемыми в абстрактной модели, но с соблюдением таких же соотношением длительностей и временных последовательностей отдельных операций.

При использовании имитационных моделей, в отличие от аналитических, в ЭВМ воспроизводится текущее функционирование системы в некотором масштабе времени. При этом требует воспроизводить входные воздействия в виде наборов чисел — реализаций процессов (а не числовых характеристик, как при аналитическом моделировании).

Одно из основных достоинств имитационных моделей — возможность моделирования даже в тех случаях, когда аналитические модели либо отсутствуют, либо (из-за сложности системы) не дают практически удобных результатов. Имитационное моделирование позволяет учесть влияние большого числа случайных и детерминированных факторов, а также сложных зависимостей при вводе в модель соответствующих элементов и операций.

При имитационном математическом моделировании явлений и процессов сохраняется их логическая структура, последовательность чередования событий во времени. Каждый акт воспроизведения течения процесса называется имитационным экспериментом.

Методами имитационного моделирования анализируется функционирование сложных систем, исследования которых практически невозможно другими методами: системы, подверженные случайным возмущениям, различные варианты управления системами, взаимодействие систем.